简述
1976 年，美国学者 Dime 和 Henman 为解决信息公开传送和密钥管理问题，提出一种新的密钥交换协议(迪菲-赫尔曼密钥交换协议，简称EDH)，允许在不安全的媒体上的通讯双方交换信息，安全地达成一致的密钥，这就是“公开密钥系统”。
公钥（Public Key）与私钥（Private Key）是通过加密算法得到的一个密钥对（即一个公钥和一个私钥，也就是非对称加密方式）。公钥可对会话进行加密、验证数字签名，只有使用对应的私钥才能解密会话数据，从而保证数据传输的安全性。公钥是密钥对外公开的部分，私钥则是非公开的部分，由用户自行保管。
使用密钥对的时候，如果用其中一个密钥加密一段数据，只能使用密钥对中的另一个密钥才能解密数据。例如：用公钥加密的数据必须用对应的私钥才能解密；如果用私钥进行加密也必须使用对应的公钥才能解密，否则将无法成功解密。
RSA算法
在公私钥加密体系中，常见的加密算法有RSA、 Cramer-Shoup、 Elgamal、以及椭圆曲线密码学等等。
而在日常中的SSL证书使用的基本都是RSA 2048bit加密算法。这里只解释RSA算法的数学原理。
概念
RSA算法基于一个十分简单的数论事实：将两个大素数相乘十分容易，但这时想要对其乘积进行因式分解却极其困难，因此可以将乘积公开作为加密密钥（密钥并非只是乘积，还包括了e）。
素数（质数）：指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。如2，3，5，7，11，13，17…
一些数学概念
欧拉函数的定义
思考以下问题：
A：任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）
Q：计算这个值的方法就叫欧拉函数，以φ(n)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。
欧拉函数的计算
通式：φ(n)=n*(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…*(1-1/pn),其中p1, p2……pn为n的所有素因数，n是不为0的整数.
欧拉函数的性质
- 对于素数p，φ(p)=p−1
- 若p为素数，n=p^k，则φ(n)=p^k-p^(k-1)
- 若m,n互素，则φ(m∗n)=φ(m)∗φ(n)，特殊的，当m=2，n为奇数时，φ(2*n)=φ(n)
- 当n>2时，φ(n)是偶数
- 小于n的数中，与n互素的数的总和为：φ(n) * n / 2 (n>1)
- n=∑d∣nφ(d)，即n的因数（包括1和它自己）的欧拉函数之和等于n
模反元素（e和d）
如果两个正整数e和n互素，那么一定可以找到整数d，使得 ed-1被n整除，或者说ed被n除的余数是1. 这时，d就叫做e对模数n的模反元素。
RSA数学原理
RSA的算法涉及三个参数，n、e、d。其中，n是两个大质数p、q的积，n用二进制表示时就是所占用的位数，就是所谓的密钥长度，即多少bit的加密长度。e和d是一对相关的值（模反元素），e可以任意取，d由于e计算而得
要求e与(p-1）*(q-1）互质（互质是公约数只有1的两个整数，如7和11和13等等）
再选择d，要求（de）mod((p-1）(q-1））=1。
（n，e）,(n，d）就是密钥对。其中(n，e）为公钥，(n，d）为私钥。这里不能反过来用，把（n,d)当成公钥发布出去。因为从私钥生成公钥是通过正向的模运算算得的，计算机很快就能产生，但要反过来要计算机从公钥做逆模运算求得私钥，只要位数够长，就几乎是难以算出的。因此RSA破解的难点就在于大素数n的因式分解上，我们很难对n进行分解得到p和q ，得不到pq自然也得不到e和d 。
RSA加密是对明文的E次方后除以N后求余数的过程。
公钥加密体制中，一般用公钥加密，私钥解密
e和d可以互换使用，即：
A=B^e mod n；
B=A^d mod n;RSA例子
RSA算法密钥生成过程
• 随意选择两个大的素数p和q，p不等于q，计算n = pq.
• 根据欧拉函数的性质3，求得r=φ(n)=φ(p)φ(q)=(p-1)(q-1).
• 选择一个小于r的整数e,且e与r互素；并求得e关于r的模反元素，命名为d.(模反元素存在，当且仅当e与r互质; 求d令ed≡1(mod r)）
• 将p和q的记录销毁
其中(n，e)是公钥，(n，d)是私钥.
• A随机选两个不相等的质数61和53，并计算两数的积n=6153=3233，n的长度就是密钥长度。3233的二进制是110010100001，一共12位，
• 所以这个密钥就是12位. 实际应用中，RSA密钥一般是1024位，重要的场合是2048位.
• 计算n的欧拉函数; φ(n)=(p-1)(q-1)=6052=3120.
• A在1到3120上随机选择了一个随机数e=17，与3120互素.
• 计算e对φ(n)的模反元素d，即ed-1=kφ(n)。
• 求解：17x+3120y=1.用扩展欧几里得算法求解。可以算出一组解(x,y)=(2753,-15)，即d=2753. 公钥(3233, 17)，私钥(3233,2753)
至此完成计算.
RSA加密过程
假设A要向B发送加密信息m，他就要用B的公钥(n,e)对m进行加密，但m必须是整数（字符串可以取ascii值或unicode值），且m必须小于n. 所谓加密就是计算下式的c:
m^e ≡ c (mod n)
假设m=65,B的公钥(3233,17),所以等式如下：
65^17≡2790（mod 3233）
所以c等于2790，A就把2790发给B.
RSA解密过程
B收到A发来的2790后，就用自己的私钥(3233,2755)进行解密
c^d ≡ m (mod n)
也就是c的d次方除以n的余数就是m
2790^2753 ≡ 65 (mod 3233)
因此得到原文65.